例4.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
人气:415 ℃ 时间:2020-03-21 19:21:10
解答
证明:充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0②x≠0,y=0③x=0,y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立.
如果xy>0即x>0,y>0或x<0,y<0
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,
当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.
必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R
得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立,
综上,原命题成立.
故结论成立.
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