已知椭圆X^2/9+y^2/5=1过原点O作两条互相垂直的射线OA、OB分别交该椭圆于AB两点求1/|OA|^2+1/|OB|^2_数学解答

已知椭圆X^2/9+y^2/5=1过原点O作两条互相垂直的射线OA、OB分别交该椭圆于AB两点求1/|OA|^2+1/|OB|^2为定值

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解答

解
A（rcosA,rsinA)
|OA|=r
则B(Rcos(A+90°),Rsin(A+90°)) ,
即 B(-RsinA,RcosA)
|OB|=R
将A,B代入椭圆方程
r²sin²A/9+r²cos²A/25=1 --------1/r²=sin²A/9+cos²A/25
R²cos²A/9+R²sin²A/25=1 --------1/R²=cos²A/9+sin²A/25
两式相加； 1/r²+1/R²=1/9+1/25=34/225
即1/|OA|^2+1/|OB|^2为定值34/225