如图,已知矩形ABCD延长CB到E,使CE=CA,F是AE中点,求证:BF垂直FD
人气:446 ℃ 时间:2019-08-22 13:00:17
解答
证明:过F做FG‖AD,连接CF.
在直角梯形ADCE中,
∵FG‖AD,F为AE的中点
∴G点为CD的中点,且FG⊥CD
∴FD=FC,∠FDC=∠FCD(垂直平分线的性质)
又∵∠ADC=∠BCD=90°(矩形的性质),即∠FDC+∠ADF=∠FCD+∠BCF=90°
∴∠ADF=∠BCF(等式的性质)
又∵AD=BC(矩形的性质)
∴△ADF≌△BCF(SAS)
∴∠AFD=∠BFC(全等三角形对应角相等)
在三角形ACE中,AC=CE,点F为AE的中点(已知)
∴CF⊥AE(等角三角形的性质)
即:∠AFD+∠CFD=∠BFC+∠BFE=90°
∵∠AFD=∠BFC(已证)
∴∠CFD+∠BFC=∠BFD=90°(等量代换)
即:BF⊥FD
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