设a与b是两个不相等的有理数,试判断实数(a+根号2)/(b+根号2)是有理数还是无理数?为什么?要分类讨论
人气:163 ℃ 时间:2019-09-26 01:30:11
解答
假设(a+√2)/(b+√2)是有理数
则(a+√2)/(b+√2)=m/n,(m,n是整数,n≠0,m≠n)
∴an+√2n=bm+√2m
∴an-bm=√2m-√2n
∴an-bm=√2(m-n) (#)
∵a,b,m,n是有理数
∴an-bm是有理数
∵m-n≠0,m,n是整数,√2是无理数
∴√2(m-n)是无理数
那么(#)左边无有理数,右边为无理数,矛盾
∴(a+√2)/(b+√2)是有理数错误
∴(a+√2)/(b+√2)是无理数
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