已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1(n≥2且n∈N*).
(I)证明数列{an+an+1}是等比数列;
(II)求a1+a2+…an(n∈N*)
人气:352 ℃ 时间:2020-03-26 01:38:01
解答
(I)证明:因为a
n+1=2a
n+3a
n-1,所以a
n+1+a
n=3(a
n+a
n-1),
所以
=3是常数,
所以数列{a
n+a
n+1}是以a
1+a
2=3为首项,等比为3的等比数列;
(II)由(Ⅰ)得a
n+1+a
n=3
n,…①,
又a
n+1=2a
n+3a
n-1(n≥2且n∈N
*).
得a
n+1-3a
n=-(a
n-3a
n-1),(n≥2且n∈N
*).
即
=-1,常数,
所以数列{a
n+1-3a
n}是以-1为首项,公比为-1的等比数列,
a
n+1-3a
n=(-1)
n,…②,
解①②得,a
n=
•3n−•(−1)n,
∴a
1+a
2+…a
n=
(3
1+3
2+3
3+…+3
n)-
[(-1)+(-1)
2+(-1)
3+…+(-1)
n]
=
[3n+1+(−1)n+1−2] (n∈N
*).
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