已知(1+x)+(1+x)^2+…+(1+x)^n=a0+a1x+…+anx^n,若a1+a2+…+a(n-1)+an=509-n_数学解答

已知(1+x)+(1+x)^2+…+(1+x)^n=a0+a1x+…+anx^n,若a1+a2+…+a(n-1)+an=509-n.求自然数n的值
如题

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解答

a0 为常数项,因此 a0=1+1+.+1=n ,
an 为 x^n 的系数,显然有 an=1 .
在已知等式中,令 x=1 得 2+2^2+2^3+.+2^n=a0+a1+a2+.+an ,
所以 2^(n+1)-2=n+509-n+1 ,
解得 n= 8 .