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数学
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汶川震后在社会各界的支持和帮助下,汶川一中临时搭建了学校,学校餐厅也做到了保证每天供应1000名学生用餐,每星期一有A、B两样菜可供选择(每个学生都将从二者中选一),为了让学生们能够安心上课对学生的用餐情况进行了调查.调查资料表明,凡是在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A,若用A
n
、B
n
分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数.
(1)试以A
n
表示A
n+1
;
(2)若A
1
=200,求{A
n
}的通项公式;
(3)问第n个星期一时,选A与选B的人数相等?
人气:492 ℃ 时间:2020-06-06 12:43:12
解答
(1)由题可知,∵在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A,
∴A
n+1
=A
n
•(1-0.2)+0.3•B
n
,
又A
n
+B
n
=1000,所以整理得:
A
n+1
=
1
2
A
n
+300
.…(3分)
(2)若A
1
=200,且
A
n+1
=
1
2
A
n
+300
,设
A
n+1
+x=
1
2
(
A
n
+x)
,则x=-600,
∴
A
n+1
-600=
1
2
(
A
n
-600)
,
即{A
n
-600}可以看成是首项为-400,公比为
1
2
的等比数列.
∴
A
n
=(-400)•(
1
2
)
n-1
+600
;…(9分)
(3)∵A
n
=B
n
,又A
n
+B
n
=1000,则A
n
=500,
由
(-400)•(
1
2
)
n-1
+600=500
得n=3.
即第3个星期一时,选A与选B的人数相等.…(12分)
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