假设存在这样的正整数m，由题意得：
m+100=x²①；m+129=y²②，
②-①得y²-x²=29．所以（y+x）（y-x）=29×1．
只有当x+y=29，y-x=1时，成立，即

x+y＝29 y−x＝1

，
解得：

y＝15 x＝14

，
所以m=x²-100=14²-100=196-100=96，
∴存在正整数96，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数．