like 是本句的谓语动词,一句话中可以出现多个动词,但是谓语只有一个,其他动词以非谓语动词的形式出现.
watching在本句中作动名词用,为like的直接宾语.watch本身为一个感官动词,其后可以接doing或者do形式的非谓语动词,作为补充形式.
举例：I watched him die yesterday.(昨天我看见他死了.die表示死亡以这一事实,没有强调动作的具体发生）
I watched her killing a man yesterday.(昨晚我看见她杀人了.killing表示动作的具体过程,你看到了她杀人的具体动作）
当然你也可以说watched her kill a man,但是就没有突出强调过程了,只表示她实施了kill这一动作,与过程没有关系；反之,第一句如果用watched him dying,则表示你看到了那人一点一点死去的过程.
综述：like为原句中谓语动词,watching和fly都为非谓语动词.
（不好意思,举例比较血腥,但愿你已经满18了）