设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明:如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定.
人气:455 ℃ 时间:2019-08-24 04:14:03
解答
任取非零向量α=(α1,α2,...αn),存在非零向量β=(β1,β2...βn),使得α'β=I,则有β'α=I
因为A-B正定,则有α(A-B)α'>0,则αAα'>αBα'
由A,B正定得A逆,B逆正定,则有βA逆β'>0,βB逆β'>0
所以(βA逆β')(αAα')(βB逆β')>(βA逆β')(αBα')(βB逆β')
由αβ'=I与βα'=I带入化简得,βB逆β'>βA逆β'
则β(B逆-A逆)β'>0
再由α的任意性知β也是任意的,故得B逆-A逆是正定的!
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