设过点（0，1）与双曲线x²-y²=1有且只有一个公共点的直线为y=kx+1．
根据题意：

y＝kx+1 x2−y2＝1

，
消去y整理得（1-k²）x²-2kx-5=0，
∵△=0，
∴k=±

5

2

；
又注意直线恒过点（0，1）且渐近线的斜率为±1，
与渐近线平行时也成立．
故过点（0，1）与双曲线x²-y²=1有且只有一个公共点的直线有4条．
故选C．