已知函数f(x)定义域为{x|x≠0,x∈R}},对定义域的任意x1,x2都有f(x1乘x2)=f(x1)+f(x2)且当x>1时,f(x)大于0
(1)求f(1)与f(-1)值
(2)求证:f(x)是偶函数
(3)求证:f(x)在(0,正无穷)上是增函数
人气:453 ℃ 时间:2019-10-18 03:22:26
解答
(1)
将x1=1 x2=1代入 f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
得f(1)=0
将x1=-1 x2=-1代入 f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
得f(-1)=0
(2)
将x2=-1代入 f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
则f(-x1)=f(x1)
∴f(x)是偶函数
(3)
设x1∈(0,+∞) ,x2>1 ,则 (x1*x2)∈(0,+∞) 且 x1*x2>x1
由题意得f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
即f(x1*x2)-f(x1)=f(x2)
∵x2>1
∴f(x2)>0
即f(x1*x2)-f(x1)>0
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数
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