（1）P在AO上（如图1）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°（1分）
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE（2分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）
P在OC上（如图2）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB
∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°
∴∠PB0=∠DPE（1分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）
（2）P在AO上（如图1）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=4-x，（1分）
∴S_△PBD=S_PBDE-S_△PDE=S_△PBO+S_OBDE-S_△PDE=S_OBDE=S_△OBC-S_△DEC
∴S_△PBD=

1

2

×4×4−

1

2

×(4−x)2＝

1

2

(8x−x2)(0＜x≤4)（2分）
P在OC上（如图2）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=x-4，（1分）
∴S_△PBD=S_△PBC+S_△PDC=S_△PBC+S_△PDE-S_△CDE=S_△PBC+S_△POB-S_△CDE
=S△OBC−S△DEC＝

1

2

×4×4−

1

2

×(x−4)2＝

1

2

(8x−x2)(4＜x＜8)（2分）
∴S△PBD＝

1

2

(8x−x2)(0＜x＜8)
即y=

1

2

（8x-x²），（0＜x＜8）；
（3）S_△ABC=16，S△PBD＝

1

2

(8x−x2)要使得△PBD的面积是△ABC面积的

3

8

，
只要

1

2

(8x−x2)＝

3

8

×16，解方程得x₁=2，x₂=6，（2分）
即当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的

3

8

注：（2）中的S_△PBD的求解可以直接用面积计算，而且不需分类讨论，可酌情给分）