椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两焦点为F1、F2,P是椭圆上一点,而且PF1*PF2=0,则该椭圆离心率的取值范围?如题_数学解答

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两焦点为F1、F2,P是椭圆上一点,而且PF1*PF2=0,则该椭圆离心率的取值范围?
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PF1 PF2 是两个向量.a＞b＞0

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解答

向量PF1·向量PF2=0,∠F1PF2=90°,设|PF1=m,|PF2|=n,则m²+n²=4c²,由椭圆定义m+n=2a…①,∵ (m+n)²-2mn=m²+n²,
∴ mn=2(a²-c²)…②,由①,②知m,n是方程z²-2az+2(a²-c²)=0的实数根,∴ 判别式△=4a²-8(a²-c²)≥0===>c²/a²≥1/2,
∴ e≥√2/2.∴ 离心率的取值范围是[√2/2,1)