trust 是“信任”,believe 是“相信”,trust的程度更深,更严肃.
举例：
1,你跟朋友聊天,说到某条新闻,你的朋友不信,认为你编的,你说Believe me!相信我.
意思就是我说的是真的,没骗你.
2,你撒谎骗了你的朋友,而且后果比较严重,导致你的朋友不再信任你,这时就应该说 Trust me!相信我!
意思就是信任我.
当然一般在口语中,这两者并没有太大区分.特别是在我举的例1这种情况下,两者都可以互换.