lim(an)=0不能判断无穷级数∑an收敛,例如∑(1/n),lim(1/n)n趋近于无穷大=0,但∑(1/n)并不收敛,若要证明一个级数收敛,必须证明它的前n项和在n趋近于无穷大时有界.或者根据级数的性质证明这个级数小于某个收敛的级数,比如∑(1/n²)
关于你的补充：
前面一半是正确的：级数收敛,一般项极限为零,级数的一般项极限不为零,则级数一定发散,一般项极限为零时级数收敛的必要条件,而不是充分条件,这个一般项就是所谓的an
后面一半不正确：an趋于零只是级数收敛的必要条件,必须证明∑an有界,才能证明an级数收敛,我上面举的例子是(1/n)级数不收敛,尽管(1/n)在n趋于无穷大时极限为零,下面我给出简单的证明：
∑(1/n)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n+...
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+{1/[2^(k)+1]+...+1/[2^(k+1)]}+...
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...+(2^k)/[2^(k+1)]+...
=1+1/2+1/2+1/2+...+1/2+...
随着n的增长,这个无穷级数将累加无数的1/2所以∑(1/n)是无界的,也就是说(1/n)这个级数不收敛
（注：1/n级数又称调和级数Harmonic Series,这个数的前n项和没有简单数学表达式,被表示为ln(n)+Harmonic Number,这个Harmonic Number不是一个定常数是ln(n)与∑(1/n)的差,n趋于无穷大时,这个数大概为5.77左右,但显而易见,ln(n)是无界的,尽管他的导数越来越小）.
另外,可以证明∑(1/n²) 是收敛的,因为∑(1/n²) 的上界为π²/6,没有简单的数学表达式,可以通过傅里叶变换等方法证明,如果想研究可以搜索Basel Problem
总之,记住一条,证明级数收敛一定要证明级数前n项和的极限有界,这是最根本的定义,证明的方法有很多,但原则上是这样的.
有问题还可以再补充,或者直接给我留言