设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的在区间[-1,4]上的最小值与最大值.
人气:352 ℃ 时间:2019-09-29 14:57:12
解答
(1)∵f(x)=x3-3ax2+3bx,
∴f′(x)=3x2-6ax+3b,
∵f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),
∴f(1)=-11,f′(1)=-12,
∴1-3a+3b=-11,且3-6a+3b=-12,
解得:a=1,b=-3;
(2)∵a=1,b=-3,
∴f(x)=x3-3a2-9x,
∴f′(x)=3x2-6x+-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3),
令f′(x)>0,解得x<-1或x>3,
令f′(x)<0,解得-1<x<3,
∴f(x)在(-1,3)是减函数,在(3,4)上单调递增,
∵f(-1)=5,f(3)=-27,f(4)=-20,
∴f(x)的最小值为-27,f(x)的最大值为5,
∴函数f(x)的在区间[-1,4]上的最小值为2,最大值为5.
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