方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0（k是实数）有两个实根α、β,且0＜α＜1,1＜β＜2,那么k的取值范围是（　　）A．_数学解答

方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0（k是实数）有两个实根α、β,且0＜α＜1,1＜β＜2,那么k的取值范围是（　　）
A．3＜k＜4 B．-2＜k＜-1C．3＜k＜4或-2＜k＜-1 D．无解

有种解法是这样的
解：记f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2,
由题意得： f(0)=k2-k-2＞0 f(1)=k2-2k-8＜0 f(2)=k2-3k＞0 ⇒3＜k＜4 或-2＜k＜-1,
∴k的取值范围是3＜k＜4或-2＜k＜-1,
故选C．

不懂耶,为什么可以判断不同的x值代入后化简出来的式子大于还是小于0啊（比如说,为什么k²-k-2>0?)
帮我解决一下这个疑问后,如果还有更好更简便的方法,也请告诉我,好吗?谢谢O(∩_∩)O~
我的解法是这样；因为有方程两个不同实根,所以先用判别式求出k的一个取值范围……
再用韦达定理,通过以只有k的式子代表α+β和α*β,因为α、β分别有取值范围,所以α+β和α*β同样也可以大体知道取值范围（但是不知道这样的是否准确）,又可以求出k的另外的取值范围,再在这几个范围力得到公共部分,可是用这种方法求出来的结果很复杂,也没有一个选项是我求出来的那样的,请问这种方法可行吗?为什么?

人气：262 ℃　时间：2020-04-13 21:10:27

解答

根据其值,可以简略画出其函数图像,由此可知楼主题中所提到的“可以判断不同的x值代入后化简出来的式子大于还是小于0 ” f(0)=k2-k-2＞0 f(1)=k2-2k-8＜0 f(2)=k2-3k＞0.另外,楼主所提出的用韦达...图像中的抛物线是函数f（x）=7²-（k+13）x+k²-k-2的图像，它与X轴的交点是当函数f（x）=7²-（k+13）x+k²-k-2=0时的根，即α、β。针对用韦达定理，我刚才仔细算了一遍，确实不能得出结论，这里向楼主致歉，我寻找了一下原因，因为解不等式1＜α+β＜3, 0＜α*β＜2时，可以做一个假设α=1.2 β=1.5，发现此时的假设也符合不等式，但是却与题干0＜α＜1，1＜β＜2矛盾，因此，必须根据α= (-b+√b^2-4ac)/2a ，β= (-b-√b^2-4ac)/2a ，再去套用题干不等式，单独解然后求交集。希望能帮助楼主