求曲线y=ln(1+x)及其通过点(-1,0)处的切线与X轴所围成的平面图形的面积
人气:386 ℃ 时间:2019-08-20 00:22:04
解答
曲线 y=ln(x+1) 的切线斜率为:y'=1/(1+x),若切点是 [m,ln(1+m)],则切线可表示为:
y-ln(1+m)=(x-m)/(1+m);
因切线过 (-1,0) 点,将该点坐标代入切线方程:0-ln(1+m)=(-1-m)/(1+m)=-1,∴ m=e-1;
得切线正式方程:y=(x+1)/e,切点 (e-1,1);
曲线 y=ln(x+1) 与 x 轴交点坐标(0,0);
曲线、切线及 x 轴所围图形面积S=∫(y=0→1} [(-1+e^y)-(e*y-1)] dy……(x 从切线变到曲线);
积分得 S==∫(y=0→1} (e^y-e*y)dy=(e^y-ey²/2)|{0,1}=e-(e/2)-1=(e-2)/2;
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