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去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图).两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7).

(1)若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短?
(2)水泵站建在距离大桥多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?
人气:460 ℃ 时间:2020-03-30 11:58:40
解答
(1)作点B关于x轴的对称点E,连接AE,则点E为(12,-7)
设直线AE的函数关系式为y=kx+b(k≠0),则
2k+b=3
12k+b=-7

解得
k=-1
b=5

当y=0时,x=5.
所以,水泵站建在距离大桥5千米的地方,可使所用输水管道最短.
(2)作线段AB的垂直平分线GF,交AB于点F,交x轴于点G
设点G的坐标为(x,0)
在Rt△AGD中,AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2
在Rt△BCG中,BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2
∵AG=BG,
∴32+(x-2)2=72+(12-x)2
解得x=9.
所以,水泵站建在距离大桥9千米的地方,可使它到张村、李村的距离相等.
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