因为f（x）=

1+x

1−x

，且f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），
所以有：f₂（x）=f（f₁（x））=f（

1+x

1−x

）=

1+ 1+x 1−x

1− 1+x 1−x

=-

1

x

；
f₃（x）=f（f₂（x））=f（-

1

x

）=

1− 1 x

1+ 1 x

=

x−1

x+1

；
f₄（x）=f（f₃（x））=f（

x−1

x+1

）=

1+ x−1 x+1

1− x−1 x+1

=x．
所以f_k（x）的周期为4，又2009=4×1002+1
故f₂₀₀₉（x）=f₁（x）=

1+x

1−x

故选D．