数列{a
n}的各项均为正数,S
n其前n项和,对于任意的n∈N
*总有a
n,S
n,a
n2成等差数列
(1)求a
1;
(2)求数列{a
n}的通项公式;
(3)设数列{b
n}的前n项和为T
n,且b
n=
,求证:对任意正整数n,总有T
n<2.
人气:277 ℃ 时间:2020-06-20 19:47:53
解答
(1)由已知:对于任意的n∈N
*总有a
n,S
n,a
n2成等差数列,数列{a
n}的各项均为正数,
∴2S
1=a
1+a
12,解得a
1=1
(2)由已知:对于n∈N
*,总有2S
n=a
n+a
n2①成立
∴2S
n-1=a
n-1+a
n-12(n≥2)②
①②得2a
n=a
n+a
n2-a
n-1-a
n-12∴a
n+a
n-1=(a
n+a
n-1)(a
n-a
n-1)∵a
n,a
n-1均为正数,
∴a
n-a
n-1=1(n≥2)
∴数列{a
n}是公差为1的等差数列.
∴a
n=n.
(3)b
n=
=
<
-
(n≥2)
当n=1时,T
n=b
1=1<2,
当n≥2时,T
n=
+
+…+
<1+(1-
)+(
-
)+…+(
-
)=2-
<2,
∴对任意正整数n,总有T
n<2.
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