把Rt△CBP绕C顺时针旋转90°，得到Rt△CDE，如图，
则E在AD的延长线上，并且CE=CP，DE=PB，∠ECP=90°，
∵△APQ的周长为2，
∴QP=2-AQ-AP，
而正方形ABCD的边长为1，
∴DE=PB=1-AP，
DQ=1-AQ，
∴QE=DE+DQ=2-AQ-AP，
∴QE=QP，
而CQ公共，
∴△CQE≌△CQP，
∴∠PCQ=∠QCE，
∴∠PCQ=45°．
故答案为：45．