求函数y=3−x2+2x+3的定义域、值域和单调区间.
人气:114 ℃ 时间:2019-08-18 08:59:25
解答
根据题意,函数的定义域显然为(-∞,+∞).
令u=f(x)=3+2x-x
2=4-(x-1)
2≤4.
∴y=3
u是u的增函数,
当x=1时,y
max=f(1)=81,而y=
3−x2+2x+3>0.
∴0<3
u≤3
4,即值域为(0,81].
(3)当x≤1时,u=f(x)为增函数,y=3
u是u的增函数,
由x越大推出u越大,u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为(-∞,1];
其证明如下:
任取x
1,x
2∈(-∞,1]且令x
1<x
2则
=
3−+2 x1+3÷
3−+2x2+3 =
3−+2 x1 +3+−2x2−3=
3( −) +2 (x1 −x2)=
3( −) +2(x1 −x2)=3(x1−x2) (2−x1−x2) ∵x
1<x
2,x
1,x
2∈(-∞,1]
∴x
1-x
2<0,2-x
1-x
2>0
∴(x
1-x
2)(2-x
1-x
2)<0
∴
3(x1−x2) (x1+x2+2)<1
∴f(x
1)<f(x
2)
∴原函数单调增区间为(-∞,1]
当x>1时,u=f(x)为减函数,y=3
u是u的增函数,
由x越大推出u越小,u越小推出y越小,
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1,+∞).
证明同上.
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