令u=f(x)=3+2x-x2=4-(x-1)2≤4.
∴y=3u是u的增函数,
当x=1时,ymax=f(1)=81,而y=3−x2+2x+3>0.
∴0<3u≤34,即值域为(0,81].
(3)当x≤1时,u=f(x)为增函数,y=3u是u的增函数,
由x越大推出u越大,u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为(-∞,1];
其证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,1]且令x1<x2
则
f(x1) |
f(x2) |
x | 21 |
x | 22 |
x | 21 |
x | 22 |
x | 22 |
x | 21 |
3(
x | 22 |
x | 21 |
∵x1<x2,x1,x2∈(-∞,1]
∴x1-x2<0,2-x1-x2>0
∴(x1-x2)(2-x1-x2)<0
∴3(x1−x2) (x1+x2+2)<1
∴f(x1)<f(x2)
∴原函数单调增区间为(-∞,1]
当x>1时,u=f(x)为减函数,y=3u是u的增函数,
由x越大推出u越小,u越小推出y越小,
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1,+∞).
证明同上.