已知椭圆x^2+y^2/b^2=1（0＜b＜1）的左焦点为F,左右顶点分别为AC,上顶点为B,过F、B、C、作圆P,圆心P坐标为（_数学解答

已知椭圆x^2+y^2/b^2=1（0＜b＜1）的左焦点为F,左右顶点分别为AC,上顶点为B,过F、B、C、作圆P,圆心P坐标为（m,n）求（1）若FC是圆P的直径,求椭圆的离心率（2）若圆P的圆心在直线x+y=0上,求椭圆的方程

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解答

(1)
若FC为圆P直径,则角FBC为直角
所以BO：FO=CO：BO
即b/c=1/b
c^2=b^4=1-b^2
b^2=((5)^0.5-1)/2
e=c/a=b^2=((5)^0.5-1)/2
(2)
PB=PC
PB^2=PC^2
m^2+(n-b)^2=(m-1)^2+n^2
2m-1=(2n-b)b
圆心P在直线x+y=0上,所以n=-m
2m-1=-2bm-b^2
m=(1-b)/2
圆心P在弦FC的中垂线上,所以m=(1+c)/2
(1-b)/2=(1+c)/2
c=-b=(1-b^2)^0.5
b=(0.5)^0.5
所以椭圆方程为x^2+2(y^2)=1