过点P做PD⊥AO.
PD即为△POC的高设它为d.
那么DE=tan∠AOP*d=√3d.
DO=tanθ*d
EO=DO-ED=√3d-tanθ*d=d(√3-tanθ).
d=PO*sinθ=2sinθ
所以S△AOP=1/2*2*sinθ*2*sinθ(√3-tanθ)
=[(√3-tanθ)(2sinθ)^2]/2=2sinθ^2*(√3-tanθ)
根据基本不等式可知
当d=DE时三角形面积最大,
所以,当θ=45度时面积最大S=√3-1.