如图,正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,E为棱C
1D
1上的动点,F为棱BC的中点.
(1)求证:直线AE⊥DA
1(2)求直线DF与平面A
1B
1CD所成角的正弦值
(3)若E为C
1D
1的中点,在线段AA
1求一点G,使得直线AE⊥平面DFG.
人气:449 ℃ 时间:2019-08-20 01:52:12
解答
证明:(1)∵A
1D⊥D
1A,D
1A⊥D
1E,∴A
1D⊥平面D
1AE,∵AE⊂平面D
1AE,∴A
1D⊥AE
(2)设正方体的棱长为2,取CC
1的中点M,连接FM交CB
1与O,则FO=
∵C
1B⊥B
1C,C
1B⊥CD∴C
1B⊥平面A
1B
1CD,∵FM∥C
1B,∴FM⊥平面A
1B
1CD
∴∠FDO就是直线DF与平面A
1B
1CD所成角
在三角形FDO中,sin∠FDO=
=
=
(3)存在,G点即为A
1点,由(1)可证得AE⊥DA
1,取CD的中点H,由DF⊥AH,DF⊥EH
AH∩EH=H,得DF⊥平面AHE,∴DF⊥AE
∵DFA
1D=D,∴AE⊥平面DFG
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