首先可以判断f（x）为奇函数 因为f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x),图形关于原点对称

f(0)=0

f’(x)=(2-2x^2)/(1+x^2)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2

f’’(x)=4x(x^2-3)(x^2+1)/ (1+x^2)^4

(可以忽略那些恒大于0的等式,所以下面的我就不写那些了,只写与关键的拐点相关的等式,你写题目的时候不要忘记加上)

令f’(x)=0 解出x1=-1,x2=1 求得函数f(x)斜率为0两点(-1,-1),(1,1)

令f’’(x)=0 解出x3=-根号3,x4=根号3

对于f’(x)

(负无穷,-1)并（1,正无穷）上f’(x)<0 函数f(x)单调递减

（-1,1）上f’(x)>0函数f(x)单调递增

对于f’’(x)

（负无穷,负根号3）并（根号3,正无穷）f’’(x)>0 可知f’(x)为单调递增

（负根号3,根号3） f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减

分段考虑

1先求f（x）在负无穷上的极限 可求得为0

2 （负无穷,负根号3）上f’(x)<0 函数f(x)单调递减 ,f’’(x)>0 可知f’(x)为单调递增

      f(x)单调递减形状为凸 

3 （负根号3,-1）  f’(x)<0 函数f(x)单调递减  f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减 

          f(x)单调递减形状为凹 

4 （-1,0）f’(x)>0函数f(x)单调递增 f’’(x)<0 可知f’(x)为单调递减

            f(x)单调递增形状为凹  

可画出左边图形,再根据奇偶性画右半就可以了

（图形我尽力了,就这个程度了,如果有不懂得可以HI我）