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植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为______(米).
人气:467 ℃ 时间:2019-08-18 23:16:40
解答
记公路一侧所植的树依次记为第1颗、第2颗、第3颗、…、第20颗
设在第n颗树旁放置所有树苗,领取树苗往返所走的路程总和为f(n) (n为正整数)
则
1
2
f(n)=[10+20+…+10(n-1)]+[10+20+…+10(20-n)]
=10[1+2+…+(n-1)]+10[1+2+…+(20-n)]
=5(n
2
-n)+5(20-n)(21-n)
=5(n
2
-n)+5(n
2
-41n+420)
=10n
2
-210n+2100,
∴f(n)=20(n
2
-21n+210),相应的二次函数图象关于n=10.5对称,
结合n为整数,可得当n=10或11时,f(n)的最小值为2000米.
故答案为:2000
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