设 f(t)>0且是连续偶函数,又函数F(x)=∫|x-t|f(t)dt定积分上下限为-a、a,x∈[-a,a],讨论F`(x)的单调性.
人气:283 ℃ 时间:2019-09-29 03:25:52
解答
F(x)=积分(从--a到0)|x--t|f(t)dt+积分(从0到a)|x--t|f(t)dt 第一个做变量替换t==-y再用t代替y
=积分(从0到a)(|x--t|+|x+t|)f(t)dt 故F(x)是偶函数,只需考虑x位于【0,a】区间即可.
=积分(从0到x)(x--t+x+t)f(t)dt+积分(从x到a)(t--x+x+t)f(t)dt
=2x积分(从0到x)f(t)dt--积分(从a到x)2tf(t)dt,
于是F'(x)=2积分(从0到x)f(t)dt是【0,a】上的递增函数,由F'(x)是奇函数知道
F'(x)是【--a,a】上的递增函数.
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