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数学
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关于复数z的方程z
2
-(a+i)z-(i+2)=0(a∈R),
(1)若此方程有实数解,求a的值;
(2)用反证法证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.
人气:365 ℃ 时间:2019-10-25 13:27:52
解答
(1)若此方程有实数解,设z=m∈R,代入方程可得 m
2
-(a+i)m-(i+2)=0,
即m
2
-am-2+(-m-1)i=0,∴m
2
-am-2=0,且-m-1=0,
∴m=-1,a=1.
(2)假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,则有 (ni)
2
-(a+i)ni-(a+2)i=0,
整理可得-n
2
+n-2+(-an-1)i=0,∴
−n2 +n −2 = 0 ①
−an−1 = 0 ②
,
∴对于①,判别式△<0,方程①无解,故方程组无解无解,故假设不成立,
故原方程不可能有纯虚根.
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