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数学
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已知定义在实数R上的函数y=f(x)不恒为零,同时满足f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>1,那么当x<0时,一定有( )
A. f(x)<-1
B. -1<f(x)<0
C. f(x)>1
D. 0<f(x)<1
人气:408 ℃ 时间:2020-03-27 04:37:35
解答
对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),
可令x=1,y=0 可得 f(0+1)=f(0).f(1)
因为当x>0时,f(x)>1,故f(1)>1>0
所以 f(0)=1
再取x=-y,可得f(0)=f(-y+y)=f(-y)•f(y)=1
所以f(-y)=
1
f(y)
,同理得f(-x)=
1
f(x)
,
当x<0时,-x>0,根据已知条件得f(-x)>1,即
1
f(x)
>1
变形得0<f(x)<1;
故选D.
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