设实数x,y满足方程:x^+y^-8x-6y+21=0,求:(1)2x-y的取值范围 (2)x^+y^-10x+2y+26的取值范围,
设实数x,y满足方程:x^+y^-8x-6y+21=0,求:(1)2x-y的取值范围 (2)x^+y^-10x+2y+26的取值范围,
人气:143 ℃ 时间:2019-10-26 18:12:35
解答
x^2+y^2-8x-6y+21=0
配方,有:
x^2-8x+16+y^2-6y+9=4
(x-4)^2+(y-3)^2=4
这是一个以(4,3)为圆心,2为半径的圆
令 x-4=2sina
y-3=2cosa (0<=a<=2π)
则 x=2sina+4
y=2cosa+3
则 2x-y=4sina+8-(2cosa+3)
=4sina-2cosa+5
=2√5*sin(a-b)+5
其中 tanb=1/2
上式在(0<=a<=2π)时的最大值是 2√5+5,最小值是 -2√5+5
所以 2x-y的范围是 [-2√5+5,2√5+5]
(2)
设x^2+y^2-10x+2y+26
=(x-5)^2+(y+1)^2
设 (x-5)^2+(y+1)^2=R^2,R>=0 则它表示的就是以(5,-1)圆心,R为半径的圆
在已知道条件(x-4)^2+(y-3)^2=4的约束下求这个R的范围,其实就是求两圆有交点时,R的取值范围.
我们知道两圆的圆心距是 (5,-1)和(4,3)的距离
=√((5-4)^2+(-1-3)^2)=√17
半径分别是 R和r,且r=2
根据圆与圆之间相交时半径的关系,有:
R+r>=√17
且 R-r<=√17
解得√17-r<=R<=√17+r
即√17-2<=R<=√17+2
所以原式的取值范围是 [√17-2,√17+2]
注:这两题都可以令表达式=k,然后解方程组,根据 △>=0来判断,但那样太麻烦,远没有现在这样简单.
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