设f(x)=(1+x)(ln(1+x))^2-x^2
f'(x)=-2x-ln(1+x)^2+(2ln(1+x)-2xln(1+x))/(1+x)
f''(x)=-2x/(x^2+2x+1)-2+(2/x+1-4ln(x+1))/(x+1)+(2xln(x+1)-2ln(x+1))/(x^2+2x+1)
f(0)=ln1=0
f(1)=2ln2*ln2-4<0
f'(0)=0
f'(1)=-2ln4<0
f''(0)=0
f''(1)=-1/2-2+...<0
所以
f(x) 在x∈(0,1)单调递减
且f(x)<0 x∈(0,1)
所以
(1+x)(ln(1+x))^2-x^2<0
即得证
(1+x)(ln(1+x))^2
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