设函数f(x)=a(x-1/x)-lnx（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线方程；（2）若函数f(x)_数学解答

设函数f(x)=a(x-1/x)-lnx
（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线方程；
（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围；
（3）设函数g(x)=e/x,若在[1,e]上至少存在一点x0使f(x0)>=g(x0)成立,求实数a的取值范围.

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解答

1、
a=1,
f'(x)=1＋1/x²－1/x,
斜率k=f'(1)=1,
切点(1,f(1))=(1,0),
切线是y=x－1；
2、
y'(x)=a(1+1/x²)-1/x>0
a>1/x(1+1/x²)=1/[x+1/x]
a>1/2
3、
根据f(x)和g(x)的大致图像,可知f(e)＞1
即a(e-1/e)-1>1
a>2/(e-1/e)