定义在正实数上的函数f（x）,对于任意的m,n都属于正实数,都有f（mn）＝f（m）+f(n)成立,当x>1时,f(x)_数学解答

定义在正实数上的函数f（x）,对于任意的m,n都属于正实数,都有f（mn）＝f（m）+f(n)成立,当x>1时,f(x)<0.证明f(x)在正实数上是减函数.

人气：346 ℃　时间：2019-10-14 04:44:52

解答

假设x1>x2>1,则x1/x2>1
则f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,则f(x)是（1,+∞）上的减函数
假设 1>x1>x2>0,则x1/x2>1
则f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,则f(x)是（0,1）上的减函数
因为f（mn）=f（m）+f（n）令n=1
则f（mn）=f（m）+f（n）即f（m）=f（m）+f（1）,则f(1)=0
综上可以知道f（x）是（0,+∞）上的减函数.