由题意，方程|x-1|-kx=0可变形为，|x-1|=kx；
设y₁=|x-1|，y₂=kx，画出函数图象如图所示，
要使方程有且只有一个正实数根，则y₁、y₂的图象只须在y轴右侧有唯一交点；
∴当k=0时，y₂=0，两图象在y轴右侧有一交点（1，0），满足条件；
当k＞0时，若k＜1，则两图象在y轴右侧有两交点，不满足条件，若k≥1，则两图象在y轴右侧有一交点，满足条件；
当k＜0时，两图象在y轴右侧无交点，不满足条件；
所以，k的取值范围是k=0，或k≥1
故答案为：{k|k=0或k≥1}．