（1）证明：∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN=

2

OM；

（3）成立．
理由如下：如图2，连接BD₁，AE₁，ON₁，
∵∠ACB-∠ACD₁=∠D₁CE₁-∠ACD₁，
∴∠BCD₁=∠ACE₁，
又∵CB=CA，CD₁=CE₁，
∴△BCD₁≌△ACE₁，
与（2）同理可证BD₁⊥AE₁，△ON₁M₁为等腰直角三角形，
从而有M₁N₁=

2

OM₁．