当x=1时，s_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
当x≠0且x≠1时，S_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，①
xS_n=x²+2x³+3x⁴+…+nxⁿ⁺¹，②
①-②，得（1-x）S_n=x+x²+x³+…+xⁿ-nxⁿ⁺¹，
所以，s_n=

x(1−xn)

(1−x)2

-

nxn+1

1−x

．