高数同济五版 21页第四题设映射F：X→Y,若存在一个映射G：X→Y,使G.F=Ix,F.G＝Iy,其中Ix和Iy分别是X和Y_数学解答

高数同济五版 21页第四题
设映射F：X→Y,若存在一个映射G：X→Y,使G.F=Ix,F.G＝Iy,其中Ix和Iy分别是X和Y上的恒等映射,即对于每一个x属于X,有Ix＝x；对于每一个y属于Y,有Iy＝y．证明：F是双射,且G是F的逆映射：G＝F－1（－1是上标）
存在x0 s.t.不存在g(y0)=x0中s.t.是什么

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解答

G：Y→X
因为G.F=Ix
所以F为单射,否则
x1!=x2
y=f(x1)=f(x2)
则x1=g(y)=x2
矛盾
G为满射,否则
存在x0 s.t.不存在g(y0)=x0
则与g.f(x0)=x0矛盾（取y0=f(x0)）
同理因为F.G＝Iy
所以G是单射
F是满射
所以f,g都是双射
由逆映射定义可知若f.g(y)=y g.f(x)=x,则f和g互为逆映射