令3^x=t （t＞0），
则g（t）=t²-（k+1）t+2，
若x∈R时，f（x）恒为正值，
则g（t）=t²-（k+1）t+2＞0对t＞0恒成立．
∴

k+1 2 ＞0 (k+1)2−8＜0

  ①
或

k+1 2 ≤0 g(0)＝2＞0

    ②
解①得：-1＜k＜-1+2

2

；
解②得：k≤-1．
综上，实数k的取值范围是（-∞，2

2

-1）．
故选：B．