（I）因为f′（x）=

1

2

-

sinx

8

，所以f′（x）∈[

3

8

，

5

8

]，满足条件0＜f′（x）＜1，
又因为当x=0时，f（

π

4

）-

π

4

＞0，f（π）-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f（x）=

x

2

+

cos

8

-

1

8

是集合M中的元素．
（II）不妨设x₁＜x₂，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x₁）＜f（x₂），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
所以0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，
即|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
所以|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|=|x₂-x₀-（x₁-x₀）|≤|x₂-x₀|+|x₁-x₀|＜2．