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数学
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若函数f(x)在定义域内存在区间[a,b],满足f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则称这样的函数f(x)为“优美函数”.
(Ⅰ)判断函数
f
(
x
)=
x
是否为“优美函数”?若是,求出a,b;若不是,说明理由;
(Ⅱ)若函数
f
(
x
)=
x
+
t
为“优美函数”,求实数t的取值范围.
人气:334 ℃ 时间:2020-05-14 19:03:31
解答
(Ⅰ)由于函数
f(x)=
x
是增函数,则得
a
=a
b
=b
,
因为a<b,所以
a=0
b=1
;
(Ⅱ)由于函数
f(x)=
x
+t
为“优美函数”,则得方程
x
+t=x
有两实根,
设
x
=m (m≥0)
,所以关于m的方程m+t=m
2
即t=m
2
-m在[0,+∞)有两实根,
即函数y=t与函数
y=(m-
1
2
)
2
-
1
4
的图象在[0,+∞)上有两个不同交点,
∴
-
1
4
<t≤0
.
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