已知椭圆C
1：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C
1的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C
1的方程；
（2）设椭圆C
1的左焦点为F
1，右焦点为F
2，直线l
1过点F
1且垂直于椭圆的长轴，动直线l
2垂直于l
1，垂足为点P，线段PF
2的垂直平分线交l
2于点M，求点M的轨迹C
2的方程．
人气：388 ℃ 时间：2020-04-15 07:20:17
解答
（1）由e=
，得
=1-e
2=
；
由直线l：x-y+2=0与圆x
2+y
2=b
2相切，得
=|b|．
所以，b=
，a=
所以椭圆的方程是
+
=1．
（2）由条件，知|MF
2|=|MP|，
即动点M到定点F
2（1，0）的距离等于它到直线l
1：x=-1的距离，
由抛物线的定义得点M的轨迹C
2的方程是y
2=4x
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