设函数y=f（x）对于x＞0有意义，且满足条件：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）在（0，+∞）上为增函数，①_数学解答

设函数y=f（x）对于x＞0有意义，且满足条件：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）在（0，+∞）上为增函数，
①证明：f（1）=0；
②求f（4）的值；
③如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范围．

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解答

①令x=1代入题中条件，得f（y）=f（1）+f（y）得f（1）=0；
②令x=y=2代入题中条件，
得f（2×2）=f（2）+f（2），得f（4）=2f（2）
∵f（2）=1，∴f（4）=2f（2）=2
③∵f（x）+f（x-3）≤2，
∴f（x（x-3））≤f（4）
结合f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得

x(x−3)≤4

x＞0

x−3＞0

解之得 3＜x≤4，实数x的取值范围为（3，4]．