1.
x²+ax+b＜0的解集是1＜x＜3
则x²+ax+b＜0可分解因式为(x-1)(x-3)＜0
展开得x²-4x+3＜0
对照原不等式系数得a=-4,b=3
2.
设边长x的边的对角为α,边长3的边的对角为β,边长4的边的对角为γ
该三角形是锐角三角形,则α,β,γ的余弦值都大于0
由余弦定理,有
cosα=(3²+4²-x²)/(2•3•4)=(25-x²)/24＞0
x²＜25
0＜x＜5
cosβ=(x²+4²-3²)/(2•4x)=(x²+7)/8x＞0
x²＞0
x＞0
cosγ=(x²+3²-4²)/(2•3x)=(x²-7)/6x＞0
x²＞7
x＜√7
取三者交集得x的取值范围√7＜x＜5
3.
设该二次函数的解析式为f(x)=ax²+bx+c,a≠0
代入P,Q两点坐标得
f(1)=a+b+c=3
f(0)=c=-8
c=-8代入a+b+c=3得a+b-8=3,得b=11-a
f(x)=ax²+(11-a)x-8
A,D两点横坐标即方程ax²+(11-a)x-8=0的两根
设方程ax²+(11-a)x-8=0的两根为x1,x2
由韦达定理,有
x1+x2=(a-11)/a
x1x2=-8/a
|AD|=|x1-x2|=2即(x1-x2)²=4
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=[(a-11)/a]²-4•(-8)/a=4
两边同乘以a²并整理得3a²-10a-121=0
得a=(5+2√97)/3或a=(5-2√97)/3
b=11-(5+2√97)/3=(28-2√97)/3或11-(5-2√97)/3=(28+2√97)/3
该二次函数的解析是
f(x)=(5+2√97)x²/3+(28-2√97)x/3-8
或
f(x)=(5-2√97)x²/3+(28+2√97)x/3-8