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在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=
5
6
36
，则(a2+b2+c2)(
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
)的最小值为 ______．
人气：449 ℃　时间：2020-04-24 20:27:51
解答
由正弦定理可知
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R
∴sinA=
a
2R
，sinB=
b
2R
，sinC=
c
2R

∴(a2+b2+c2)(
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
)
=4R2（a2+b2+c2）（
1
a2
+
1
b2
 +
1
c2
）
=4R2（3+
a2
b2
+
b2
a2
+
a2
c2
+
c2
a2
+
c2
b2
+
b2
c2
）≥4R2（3+2+2+2）=
25
6
（当且仅当a=b=c时等号成立）．
故答案为：
25
6
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