不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

≥m对于任意的实数x均成立，等价于（m-3）x²+（m-2）x+m-2≤0对于任意的实数x均成立．
m=3时，x+1≤0，∴x≤-1，不满足题意；
m≠3时，

m−3＜0 (m−2)2−4(m−3)(m−2)≤0

，∴m≤2，
∴自然数m的值为0，1，2．