过点P(2,1)作直线l交x,y轴正半轴于A,B两点,当|PA|•|PB|取最小值时,求直线l的方程.
人气:142 ℃ 时间:2019-10-19 20:21:15
解答
最笨的方法:
可令直线l的方程为y-1=k*(x-2)
求出坐标A(-1/k +2,0),B(0,-2k+1)
再求出|PA|=根号(1/k^2 +1),|PB|=2*根号(k^2+1)
所以|PA|*|PB|=2根号(1/k^2 +1)*根号(k^2+1)
=2*根号[(1/k^2 +1)(k^2+1)]
=2*根号[2+k^2 + 1/ k^2]
>=2*根号(2+2)
=4
要取等号必须 k^2 =1/ k^2 得k=±1
又直线l交x,y轴正半轴
因此k只能取-1
所以直线l的方程为 y=-x+3
简单的方法:
参数法:
直线方程为
x=2+t*cosα
y=1+t*sinα
可得|PB|=|2/cosα|,|PA|=|1/sinα|
|PA||PB|=|(2/cosα)*(1/sinα)|
=|2/(cosα*sinα)|
=|4/sin2α|
>=4
当sin2α=1即α=45度或135度时最小(α是直线与x正半轴的成的角)
又直线l交x,y轴正半轴
所以α=135度
即直线的斜率为-1
其他同上
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