第一个应该是莱布尼兹吧,他的莱布尼兹公式和积分中值定理可以用于积分不等式的证明.他本人从何几何的角度创立了微积分,与牛顿平起平坐.
楼下的,微积分中的微分中值定理在拉格朗日时代就有了,如果说理论不完善,那么第一个用于不等式的是也应该是拉格朗日,不能是柯西吧.